К чести Joomla, эта CMS умеет генерировать человекопонятные URL (ЧПУ) уже «из коробки». Этой функцией мы и воспользуемся, чтобы убрать index.php из URL.
Для этого в основном меню CMS выберите раздел Система, а в нём Общие настройки.
В Параметрах SEO выставьте значение пунктов Включить SEF (ЧПУ) и Перенаправление URL в положение Да.
Не забудьте сохранить настройки!
Это преобразует URL на сайте, и они перестанут содержать index.php.